3.3 卡方检验

本节目标

读完本节后你能：

• 区分拟合优度检验、独立性检验、同质性检验这三种"卡方"，并知道你的数据该用哪个。
• 理解 χ² 公式在算什么——为什么是"(观察 - 期望)² / 期望"的累加。
• 在 SPSS 和 Python 中跑一个 2×2 或 r×c 列联表分析，并正确读出效应量（φ / Cramer's V）。
• 显著之后做事后比较，定位是哪几个格子在驱动整体差异。
• 知道什么时候应该改用 Fisher 精确检验或 McNemar 检验。

本节路线图

• 卡方检验在做什么
• 三种卡方：场景对应表
• 核心原理：观察值 vs. 期望值
• 用之前要满足什么条件
• 独立性检验完整例子
• 拟合优度检验：另一种用法
• 效应量：φ 与 Cramer's V
• 事后比较：哪一格在驱动结果
• SPSS / Python 实现
• 替代方案与常见误用

一、卡方检验在做什么

t 检验、ANOVA 处理的都是"分类 IV × 连续 DV"的情形。但社心方向也经常遇到两个变量都是分类的情形：

• 男生和女生是否赞成某项政策的比例是否不同？
• 三种说服方式下，被试接受还是拒绝建议的比例是否不同？
• 干预组和对照组中戒烟成功的人数比例是否不同？

这些问题问的是 类别频次的分布——卡方检验就是这一类问题的标配工具。它的核心思想很朴素：比较"实际观察到的频次"和"零假设下应该出现的频次"，看两者差距能不能大到不像随机波动。

一句话定位

• t / ANOVA：连续变量的 均值 比较
• 卡方：分类变量的 频次（比例） 比较

二、三种卡方：场景对应表

教材里通常讲三种卡方检验。它们的计算公式完全一样，但回答的问题不同：

名称	数据形态	回答的问题	例子
拟合优度检验 (goodness of fit)	一个分类变量	频次是否符合某个理论比例？	心理系男女比例是否真的 1:1？
独立性检验 (test of independence)	两个分类变量，同一群人	这两个变量是否相关？	性别 × 是否赞成（同一批人都被问）
同质性检验 (test of homogeneity)	两个分类变量，多个独立群体	几个群体在某个变量上的分布是否相同？	三个城市的人在党派支持上比例是否相同？

独立性 vs. 同质性

这两个检验在公式和操作上完全等价，区别仅在抽样方式和研究问题的措辞：

• 独立性：你抽了一群人，同时测两个变量。问"这两个变量相关吗？"
• 同质性：你从几个总体各抽一群人，测一个变量。问"几个总体的分布相同吗？"

SPSS 和 Python 都不会区分这两者——都是把数据做成列联表然后跑同一个公式。社心方向 90% 的应用场景实际上是独立性检验。

三、核心原理：观察值 vs. 期望值

1. 公式与直觉

卡方统计量：

$${\chi }^2=\sum \frac{(O-E{)}^2}{E}$$

其中 $O$ 是观察频次（实际数到的人数），$E$ 是期望频次（如果零假设成立，应该出现的人数）。

直觉解读：

• 把每个格子的"实际值与期望值的偏差平方"按"期望值"加权，再加起来。
• 偏差越大、格子越多，χ² 越大。
• χ² 大 → 实际分布和零假设差距大 → 拒绝零假设。

2. 期望频次怎么算（独立性检验）

对一个 r × c 列联表里的某个格子（第 i 行第 j 列）：

$$E_{ij}=\frac{\text{第 i 行总数}\times \text{第 j 列总数}}{\text{总样本量 }N}$$

直觉：如果两个变量真的独立，行总数和列总数应该按乘法概率分配到每个格子。

3. 自由度

• 拟合优度：$df=k-1$（k 是类别数）
• 独立性 / 同质性：$df=(r-1)(c-1)$

2×2 表的 df 是 1，3×3 表的 df 是 4，以此类推。

四、用之前要满足什么条件

1. 三个核心条件

1. 观测独立——同一个人不能在表里被数两次。这条违反，整个分析作废。
2. 每个格子的期望频次足够大——经典经验法则：所有 $E_{ij}\ge 5$。如果有格子 < 5，结果不可靠。
3. 频次数据，不是百分比——卡方算的是计数，必须用原始频次而不是比例。

2. 期望频次太小怎么办？

不同情形对应不同方案：

情形	推荐做法
2×2 表任一格期望频次 < 5	用 Fisher 精确检验
r×c 表少数格子 < 5（如 < 20% 的格子）	仍可用卡方，但结果偏保守
r×c 表大量格子 < 5	合并相近的类别（如把"非常不同意"和"不同意"合并）
配对数据（同一个人前后两次）	用 McNemar 检验，不是普通卡方

Yates 连续性校正：用还是不用？

经典 SPSS 输出会给一个 Yates' continuity correction（仅 2×2 表）。它把 |O - E| 减去 0.5 再做检验，结果偏保守。

• 老一辈教材推荐 2×2 表 + 小样本时用 Yates 校正。
• 现代模拟研究表明：Yates 校正过度保守，导致功效下降，且小样本时直接用 Fisher 精确检验更合适。
• 当代推荐：默认不用 Yates 校正；样本小时用 Fisher 精确检验代替。

五、独立性检验完整例子

1. 研究背景

经典社心研究：旁观者效应（Latané & Darley, 1968）。一个被试假装癫痫发作，记录在场被试是否前去帮助。研究操纵"在场旁观者数量"，看帮助率是否随旁观者数量增加而下降。

2. 假设虚拟数据（独立性检验）

旁观者人数	帮助 (n)	未帮助 (n)	行总数
1 人在场	27	5	32
2 人在场	18	14	32
5 人在场	10	22	32
列总数	55	41	N = 96

3. 计算期望频次

第 1 行第 1 列（"1 人在场" 且 "帮助"）的期望频次：

$$E_{11}=\frac{32\times 55}{96}=18.33$$

实际值是 27，比期望值高很多——预示一旁观者条件的帮助率明显高于平均。

完整期望频次表：

旁观者人数	帮助 (E)	未帮助 (E)
1 人	18.33	13.67
2 人	18.33	13.67
5 人	18.33	13.67

4. 计算卡方值

$${\chi }^2=\sum \frac{(O-E{)}^2}{E}=\frac{(27-18.33{)}^2}{18.33}+\frac{(5-13.67{)}^2}{13.67}+\dots$$

逐项算下来：

$${\chi }^2\approx 4.10+5.50+0.02+0.03+3.61+4.84=18.10$$

$df=(3-1)(2-1)=2$，查表 p < .001。结论：旁观者数量与帮助行为显著相关。

5. 解读方向

光看 χ² 显著只知道"两个变量相关"，不知道：

• 哪些格子贡献了最多的偏差？
• 关系的方向（旁观者多 → 帮助率低？）

回答这两个问题需要 效应量 和 事后比较。

六、拟合优度检验：另一种用法

拟合优度检验用一个变量验证它的频次是否符合理论比例。

例子

你测了 200 名心理系本科生，其中 130 名女生、70 名男生。问：心理系本科生的性别比例是否和全校师生 1:1 不同？

零假设 H0：男女比例 1:1，即每个类别期望 100 人。

$${\chi }^2=\frac{(130-100{)}^2}{100}+\frac{(70-100{)}^2}{100}=9+9=18$$

$df=2-1=1$，p < .001。性别比例显著偏离 1:1。

期望比例不一定是均匀的

拟合优度检验里"期望比例"由你的理论决定——可以是均匀分布（每类各 1/k），也可以是任意理论分布：

• 检验"骰子是否公平" → 每面期望 1/6
• 检验本科心理系性别比 → 假设理论比例是全校的 6:4
• 检验某反应分布是否服从某理论 → 期望比例由理论给出

所以同一组数据，不同的理论假设会给不同的期望和不同的 χ² 值。

七、效应量：φ 与 Cramer's V

χ² 本身不是效应量——它会随样本量上升而变大。同样的关联强度，N = 100 时 χ² = 5，N = 1000 时可能 χ² = 50。所以必须报告与样本量无关的效应量。

1. 三个常用效应量

效应量	适用	公式
φ (phi)	仅 2×2 表	$\varphi =\sqrt{{\chi }^2/N}$
Cramer's V	任意 r×c 表	$V=\sqrt{{\chi }^2/(N\times min(r-1,c-1))}$
Odds Ratio	仅 2×2 表	$OR=(a\times d)/(b\times c)$

φ 和 Cramer's V 在 2×2 时数学上等价。

2. Cohen 解读标尺

df = min(r-1, c-1)	小	中	大
1（2×2 或 2×k）	.10	.30	.50
2	.07	.21	.35
3	.06	.17	.29

注意 df 越大，同样的"小/中/大"对应的 V 值越小——格子多了，"显著的关联"更难达到。

3. 旁观者例子的效应量

继续上面的旁观者数据：χ² = 18.10, N = 96, $min(r-1,c-1)=1$。

$$V=\sqrt{18.10/(96\times 1)}=\sqrt{0.189}\approx 0.43$$

这是一个接近大效应的关联。OR 不适用（不是 2×2）。

八、事后比较：哪一格在驱动结果

χ² 显著只告诉你"整张表里存在关联"。要定位是哪几个格子让 χ² 这么大，需要看调整后标准化残差（adjusted standardized residuals, ASR）：

$${\text{ASR}}_{ij}=\frac{O_{ij}-E_{ij}}{\sqrt{E_{ij}(1-p_{i\cdot })(1-p_{\cdot j})}}$$

其中 $p_{i\cdot }$ 和 $p_{\cdot j}$ 是行和列的边际比例。

判断标准：

• |ASR| > 1.96 → 该格子在 .05 水平显著偏离独立预期
• |ASR| > 2.58 → .01 水平显著
• 正 ASR → 实际比期望多
• 负 ASR → 实际比期望少

旁观者例子的 ASR 表

旁观者人数	帮助 ASR	未帮助 ASR
1 人	+2.86	−2.86
2 人	−0.10	+0.10
5 人	−2.76	+2.76

读数：

• "1 人在场"条件下"帮助"格子 ASR = +2.86，显著高于期望——独自一人时帮助率明显偏高。
• "5 人在场"条件下"帮助"格子 ASR = −2.76，显著低于期望——人多时帮助率明显偏低。
• "2 人在场"全部不显著，说明它和总平均水平差不多。

多重比较的考虑

当表格里有很多格子时（比如 4×4），用 ASR 做事后比较等于做了 16 次检验，I 类错误会膨胀。可以用 Bonferroni 校正——把临界值从 ±1.96 改成对应 α/k 的 z 值（k 是格子数）。

九、SPSS 实现

1. 独立性检验

菜单：Analyze → Descriptive Statistics → Crosstabs

把一个变量拖入 Row(s)，另一个拖入 Column(s)；点 Statistics 勾选 Chi-square 和 Phi/Cramer's V；点 Cells 勾选 Observed、Expected、Adjusted standardized residuals。

语法：

CROSSTABS
  /TABLES=bystander BY help
  /STATISTICS=CHISQ PHI
  /CELLS=COUNT EXPECTED ROW SRESID ASRESID
  /COUNT ROUND CELL.

ASRESID 就是事后比较用的调整标准化残差。

2. 拟合优度检验

菜单：Analyze → Nonparametric Tests → Legacy Dialogs → Chi-square

语法（验证性别比 1:1）：

NPAR TESTS
  /CHISQUARE=gender
  /EXPECTED=EQUAL
  /MISSING ANALYSIS.

非均匀理论比例：把 /EXPECTED=EQUAL 改成 /EXPECTED=60 40（按比例填入）。

3. Fisher 精确检验

2×2 表期望频次 < 5 时，SPSS 会自动在输出里给 Fisher's exact test 的结果——不用单独操作，直接看就行。更大表格用：

CROSSTABS
  /TABLES=var1 BY var2
  /STATISTICS=CHISQ
  /METHOD=EXACT.

注意 EXACT 计算量极大，r×c 表很大时可能跑不动。

十、Python 实现

1. 独立性检验

scipy（基础）

from scipy import stats
import numpy as np

# 列联表（旁观者 × 帮助）
table = np.array([
    [27, 5],   # 1 人在场
    [18, 14],  # 2 人在场
    [10, 22],  # 5 人在场
])

chi2, p, dof, expected = stats.chi2_contingency(table)
print(f"χ² = {chi2:.2f}, df = {dof}, p = {p:.4f}")
print("期望频次：")
print(expected)

# 注意：scipy 默认对 2×2 应用 Yates 校正
# 想关闭：correction=False
chi2, p, dof, expected = stats.chi2_contingency(table, correction=False)

pingouin（推荐）

import pingouin as pg
import pandas as pd

# 长格式数据
df = pd.read_csv("bystander.csv")

# 一行搞定，含效应量
expected, observed, stats_result = pg.chi2_independence(
    df, x='bystander', y='help'
)
print(stats_result)
# 输出含 χ², p, df, Cramer's V, power

手动算 ASR 事后比较

# scipy 不直接给 ASR，需要自己算
import numpy as np

def adjusted_standardized_residuals(observed):
    """计算调整标准化残差。"""
    n = observed.sum()
    row_totals = observed.sum(axis=1, keepdims=True)
    col_totals = observed.sum(axis=0, keepdims=True)
    expected = row_totals @ col_totals / n

    row_props = row_totals / n
    col_props = col_totals / n

    se = np.sqrt(expected * (1 - row_props) * (1 - col_props))
    return (observed - expected) / se

asr = adjusted_standardized_residuals(table)
print("调整标准化残差（|ASR| > 1.96 显著）：")
print(asr.round(2))

2. 拟合优度检验

from scipy import stats

# 观察频次：130 女、70 男；期望比例 1:1（即各 100）
observed = [130, 70]
expected = [100, 100]
chi2, p = stats.chisquare(observed, expected)
print(f"χ² = {chi2:.2f}, p = {p:.4f}")

# 期望比例不均匀（如理论比例 6:4）
expected = [120, 80]  # 200 × 0.6, 200 × 0.4
chi2, p = stats.chisquare(observed, expected)

3. Fisher 精确检验（仅 2×2）

from scipy import stats

# 2×2 表
table = np.array([[8, 2], [1, 5]])
odds_ratio, p = stats.fisher_exact(table, alternative='two-sided')
print(f"OR = {odds_ratio:.2f}, p = {p:.4f}")

4. McNemar 检验（配对数据）

from statsmodels.stats.contingency_tables import mcnemar

# 同一批人前后两次的 yes/no
# 行 = 前测，列 = 后测
table = np.array([[40, 12], [3, 25]])  # 12 个人前测yes后测no, 3个反过来
result = mcnemar(table, exact=True)
print(f"χ² = {result.statistic:.2f}, p = {result.pvalue:.4f}")

十一、APA 报告模板

独立性检验 + 事后比较

卡方检验显示，旁观者数量与帮助行为存在显著关联，χ²(2, N = 96) = 18.10, p < .001, Cramer's V = .43。调整标准化残差表明，独自一人在场时被试帮助的比例显著高于期望（27 人帮助 vs. 期望 18.33；ASR = +2.86），而五人在场时帮助比例显著低于期望（10 人帮助 vs. 期望 18.33；ASR = −2.76）；两人在场条件下帮助比例与期望无显著差异。这一模式与旁观者效应理论一致。

拟合优度检验

拟合优度检验显示，本系本科生的性别分布显著偏离 1:1 预期，χ²(1, N = 200) = 18.00, p < .001。具体而言，女生（130 人，65%）显著多于男生（70 人，35%）。

写作禁忌

这些写法会被审稿人指出来

• 写 p = .000 → 改成 p < .001
• 不报效应量 → 必须报 φ 或 Cramer's V
• 不报样本量 → χ² 写作需注明 N：χ²(df, N = ...)
• 用百分比作为输入 → 必须用频次
• "旁观者越多帮助率越低"——光卡方说不出方向，要靠 ASR 或单独的趋势检验

十二、替代方案与常见误用

1. 替代方案速查

你的情况	替代方案
2×2 表 + 期望频次 < 5	Fisher 精确检验
配对数据（同一人前后两次）	McNemar 检验
配对数据 + 多于 2 个条件	Cochran's Q
有序分类变量（如李克特）	Mantel-Haenszel 趋势检验
有连续协变量需控制	Logistic 回归
有控制层（如分性别看条件 × 反应）	分层卡方 / Mantel-Haenszel
多重比较时	Bonferroni 校正后 ASR

2. 常见误用清单

五个最高频的坑

1. 拿百分比当输入——卡方算的是频次，输入百分比会得到错误的 χ² 和 p 值。
2. 同一个人在表里被数多次——独立性假设直接破坏。
3. 把有序变量当无序处理——5 点李克特做卡方会丢掉"顺序"信息，应该用趋势检验或 Mann-Whitney。
4. 不报效应量——χ² 大可以是因为关联强、也可以是因为 N 大。Cramer's V 才说效应。
5. 小样本还坚持卡方——2×2 表期望频次 < 5 时改用 Fisher 精确检验。

资源与工具

🐧

pingouin

Python 心理学统计包 · 卡方一行搞定，含效应量

→

🧮

JASP

开源 GUI · 卡方分析含贝叶斯版本

→

📦

DescTools (R)

一站式分类数据分析包 · 各种关联系数齐全

→

📏

Cohen (1988)

效应量解读标尺的原始来源

→

延伸阅读

• Agresti, A. (2018). An introduction to categorical data analysis (3rd ed.). Wiley. ——分类数据分析的金标准教材，从卡方到 Logistic 回归到对数线性模型。
• Howell, D. C. (2013). Statistical methods for psychology (8th ed.), Chapter 6. ——心理学专业卡方入门最清晰的中级教材。
• Sharpe, D. (2015). Your chi-square test is statistically significant: Now what? Practical Assessment, Research, and Evaluation, 20(8). ——专门讲卡方显著之后该做什么的实操综述。
• Latané, B., & Darley, J. M. (1968). Group inhibition of bystander intervention in emergencies. Journal of Personality and Social Psychology, 10(3), 215–221. ——旁观者效应原始研究，本节例子改编自此。