3.4.3 哑变量回归

本节目标

读完本节后，你能把 $k$ 水平的分类预测变量编码为 $k - 1$ 列，解释参考组、截距和各组差异；说明单因素 ANOVA 与同一设计矩阵下的 OLS 回归何时等价；选择处理编码或计划对比；并报告组差异、置信区间、整体检验和效应量。

本节路线图

概述：把分类变量装进回归
哑变量编码方式
ANOVA = 回归的等价证明
含哑变量的多元回归
软件实现

概述

线性回归的预测变量不必都是连续数值。分类变量没有自然的数值距离，必须先转换为哑变量（indicator/dummy variables）或对比编码。对一个有 $k$ 个水平的变量，在包含截距的模型中只放 $k - 1$ 列；把全部 $k$ 列与截距同时放入会形成完全共线性，也就是“dummy-variable trap”。

本页仍假定结果变量连续、各行观测独立、组内误差结构适合 OLS。若结果是二分类，应使用 logistic 回归；若同一被试多次进入不同条件，应使用重复测量或混合效应模型。

处理编码：每个系数都和参考组比较

设条件有“对照”“文字”“视频”三组，以对照组为参考，定义：

组别	$D_{t e x t}$	$D_{v i d e o}$
对照	0	0
文字	1	0
视频	0	1

回归模型为：

Y = b_{0} + b_{1} D_{t e x t} + b_{2} D_{v i d e o} + ε .

$b_{0} = {\bar{Y}}_{c o n t r o l}$ ：参考组均值。
$b_{1} = {\bar{Y}}_{t e x t} - {\bar{Y}}_{c o n t r o l}$ ：文字组与对照组的均值差。
$b_{2} = {\bar{Y}}_{v i d e o} - {\bar{Y}}_{c o n t r o l}$ ：视频组与对照组的均值差。

截距和系数的含义由编码决定。改变参考组会改变参数表，但不会改变拟合值、残差、整体 $F$ 、 $R^{2}$ 或同一组均值。要比较视频与文字，可以更换参考组，或直接检验线性对比 $b_{2} - b_{1}$ 。

不要给类别直接编号后当连续变量

把三组写成 1、2、3 并直接回归，会强迫模型假定“1 到 2”和“2 到 3”的间隔相同且只有一条线性趋势。除非这正是事先定义的有序趋势假设，否则应使用 $k - 1$ 列编码或明确的对比。

ANOVA 与回归何时等价

对独立组、连续结果和同一组观测，如果 ANOVA 与 OLS 回归使用相同的设计矩阵、最小二乘估计、截距和误差假设，则：

回归预测值就是各组样本均值；
回归的模型平方和等于单因素 ANOVA 的组间平方和；
整体回归 $F$ 与单因素 ANOVA 的总体 $F$ 相同；
单因素模型的 $R^{2} = S S_{b e t w e e n} / S S_{t o t a l} = η^{2}$ 。

这项等价不表示所有 ANOVA 与所有回归输出都无条件相同。多因素且不平衡的数据中，Type I/II/III 平方和检验的是不同问题；对比编码、交互项、缺失值筛选和稳健标准误也会改变具体检验。Welch ANOVA 与经典等方差 OLS 的 $F$ 同样不是一回事。

其他编码与计划对比

编码	截距常见含义	系数回答的问题	适合场景
处理/哑变量编码	参考组均值	各组 vs. 参考组	有明确基准组
和编码（sum coding）	各水平的非加权总体均值（平衡设计时等于总均值）	各水平相对该均值	关注总体偏离
计划对比	由对比矩阵决定	事先指定的科学比较	例如两种干预平均 vs. 对照

对比权重应对应研究问题并在看结果前确定。若同一组均值上检验多个事后比较，要说明多重比较控制方法；“换几个参考组直到有显著结果”仍是多重检验。

含哑变量的多元回归

分类变量可以与连续协变量共同进入模型：

Y = b_{0} + b_{1} D_{t e x t} + b_{2} D_{v i d e o} + b_{3} X + ε .

这时 $b_{1}, b_{2}$ 是在模型中的 $X$ 相同时的调整后组差异。若各组中 $X$ 与 $Y$ 的斜率不同，应事先考虑 $D \times X$ 交互；没有交互的 ANCOVA 模型隐含平行斜率。观察性分组即使调整协变量，也不能自动获得随机实验的因果解释。

假设、诊断与报告

与多元回归相同，需要检查线性均值结构、独立性、同方差、残差尾部和影响点。分类预测变量下尤其要看每组样本量、每组残差分布和组间方差；极小组会让系数 CI 很宽。异方差时可以使用 HC3 稳健 SE，或在纯组间均值问题中考虑 Welch ANOVA；不要只因 Levene 检验显著/不显著就自动切换方法。

最低报告集合：每组 $n$ 、均值与 SD，整体 $F (d f_{1}, d f_{2})$ 、 $p$ 、 $R^{2} / η^{2}$ （可加 $ω^{2}$ ），每个计划比较的均值差、SE、95% CI、 $p$ 及多重比较处理。系数表必须写明参考组或对比编码。

教学示例：三组条件

以下是教学模拟数据，每组 5 个独立观测：对照组 [12,13,11,14,10]，文字组 [15,16,14,17,15]，视频组 [18,17,19,20,18]。

PythonSPSS syntax

python

import pandas as pd
import statsmodels.formula.api as smf
from statsmodels.stats.anova import anova_lm

df = pd.DataFrame({
    "condition": ["control"]*5 + ["text"]*5 + ["video"]*5,
    "score": [12,13,11,14,10, 15,16,14,17,15, 18,17,19,20,18]
})
fit = smf.ols(
    "score ~ C(condition, Treatment(reference='control'))", data=df
).fit()
print(df.groupby("condition")["score"].agg(["count", "mean", "std"]))
print(fit.params.round(3))
print(fit.conf_int().round(3))
print(anova_lm(fit))

text

DATA LIST LIST / condition score.
BEGIN DATA
0 12
0 13
0 11
0 14
0 10
1 15
1 16
1 14
1 17
1 15
2 18
2 17
2 19
2 20
2 18
END DATA.
COMPUTE text  = (condition = 1).
COMPUTE video = (condition = 2).
EXECUTE.
REGRESSION
  /DEPENDENT score
  /METHOD=ENTER text video
  /STATISTICS=COEFF OUTS R ANOVA CI(95).

三组均值依次为 12.0、15.4、18.4。以对照组为参考时：

参数	$b$	SE	$t (12)$	95% CI	$p$
截距（对照组均值）	12.0	0.583	20.58	[10.730, 13.270]	< .001
文字 - 对照	3.4	0.825	4.12	[1.603, 5.197]	.001
视频 - 对照	6.4	0.825	7.76	[4.603, 8.197]	< .001

整体检验 $F (2, 12) = 30.16$ ， $p < .001$ ， $R^{2} = η^{2} = .834$ ， $ω^{2} = .795$ 。 $R^{2}$ 较大只说明这份模拟数据中的组均值分离明显；它不证明现实研究中的干预有效。

报告时可以写：

以对照组为参考的回归显示，文字组得分平均高 3.40 分， $S E = 0.82$ ， $t (12) = 4.12$ ， $p = .001$ ，95% CI [1.60, 5.20]；视频组平均高 6.40 分， $S E = 0.82$ ， $t (12) = 7.76$ ， $p < .001$ ，95% CI [4.60, 8.20]。整体模型 $F (2, 12) = 30.16$ ， $p < .001$ ， $R^{2} = .834$ 。数据为教学模拟，不作实质推断。