3.4.0 相关分析

本节目标

读完本节后你能：

用一句话说清 Pearson r 在算什么——它的"协方差"血统从哪来。
区分 Pearson、Spearman、Kendall、点二列、偏相关 五种相关系数，并知道你的数据该用哪个。
在 SPSS 和 Python 中做出一张含显著性的相关矩阵，并写成 APA 三线表。
看懂 Anscombe 四重奏的警告：相同的 r 可能来自完全不同的数据——所以画图永远先于报告 r。
避开"相关 ≠ 因果"和"截断范围"两个最常见的误用。

本节路线图

相关分析在做什么
Pearson r 的公式与直觉
相关系数的家族：选哪一种？
用之前要满足什么条件
一个完整例子
Anscombe 警示：r 是不够的
偏相关：多元回归的预演
相关 ≠ 因果（5 种典型错觉）
SPSS / Python 实现
怎么把相关矩阵写进论文
常见误用与替代方案

一、相关分析在做什么

相关分析回答两个连续变量是否一起变化、变化方向如何、关联有多强——三件事用一个数 r 全打包。

r 的取值范围：-1 到 +1
r > 0：正相关（一个高，另一个也倾向高）
r < 0：负相关（一个高，另一个倾向低）
r = 0：线性无关（不等于独立！见 Anscombe 一节）
|r| 接近 1：关联非常强；|r| 接近 0：关联很弱

跟差异分析的关系

回顾本章总览的核心论点：相关 ≈ 一元回归（3.4 总览）。Pearson r 等价于一元回归的标准化系数 β，r² 等价于回归的 R²。所以学相关其实就是用最简单的语言学回归的内核。

二、Pearson r 的公式与直觉

1. 公式

r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \bar{X}) (Y_{i} - \bar{Y})}{\sqrt{\sum (X_{i} - \bar{X})^{2} \sum (Y_{i} - \bar{Y})^{2}}}

或者用更简洁的写法（协方差 / 标准差乘积）：

r = \frac{Cov (X, Y)}{S D_{X} \cdot S D_{Y}}

2. 直觉版：r 在算什么

把这个公式拆成三步看：

第一步：每个被试的"双重偏离"

对每个数据点，看它在 X 上偏离 X 均值多少、在 Y 上偏离 Y 均值多少，然后把两个偏离相乘：

如果一个被试 X 偏高、Y 也偏高 → 两个正数相乘 = 正贡献
如果一个被试 X 偏低、Y 也偏低 → 两个负数相乘 = 正贡献
如果一个 X 偏高、Y 偏低（或反过来）→ 一正一负相乘 = 负贡献

第二步：把所有人的"双重偏离"加起来

得到的就是分子。它叫"乘积和"（sum of cross-products），是协方差的核心。

第三步：除以"两个变量各自波动的乘积"

分子有个量纲问题（如果 X 是身高厘米、Y 是体重公斤，分子的单位是 kg·cm）。除以两个 SD 的乘积让 r 无量纲，并被压在 -1 到 +1 之间。

一个生活化的类比

两个朋友的心情。如果他俩 总是一起开心、一起郁闷，他们的心情正相关；如果一个开心时另一个总在郁闷，负相关；如果一人的心情完全不由另一人决定，r 接近 0。 r 衡量的就是这种"步调一致"的程度。

3. r 的平方：解释变异的比例

$r^{2}$ 称为决定系数（coefficient of determination），表示 Y 的总变异中能被 X "解释"的比例。

例：r = 0.50 时 r² = 0.25 → X 能解释 Y 的 25% 变异。例：r = 0.30 时 r² = 0.09 → X 能解释 Y 的 9% 变异。

这是为什么 r = 0.30 听起来不小，但其实只解释了 9% 的变异——直接看 r 容易高估关系的"实际重要性"。报告时 r 和 r² 一起给比较稳妥。

4. Cohen 的解读标尺（仅供参考）

| 量级 | |r| | r² | 含义 | | --- | --- | --- | --- | --- | | 小 | .10 | .01 | 1% 变异 | | 中 | .30 | .09 | 9% 变异 | | 大 | .50 | .25 | 25% 变异 |

别死套标尺

Cohen 的标尺是 1988 年基于行为科学普遍水平制定的。社心方向的元分析显示，跨研究的真实效应均值约为 r = .20-.25——所以 r > .50 在社心方向已经是很大的效应。看到论文报 r > .80 时建议先怀疑是不是有共同方法偏差或测量重叠问题。

三、相关系数的家族：选哪一种？

教材里有十几种相关系数，但社心方向常用的就五种。

系数	适用情形	选它的理由
Pearson r	两个连续变量，线性关系	默认；统计功效最高
Spearman ρ（rho）	定序变量；或非线性单调关系；或有异常值	用秩次代替原值，不受异常值影响
Kendall τ（tau）	同 Spearman；样本极小（n < 20）	比 Spearman 更稳健，但功效略低
点二列相关（point-biserial r）	一个二分类 + 一个连续	与 t 检验等价——其实是同一件事的不同视角
Phi 系数 φ	两个二分类	与 2×2 卡方等价（3.3 已讲）

实操建议

默认用 Pearson——除非你有具体理由换。
看到反应时、收入这种右偏数据 → Spearman——它对极端值不敏感。
量表数据（多条目李克特合成分）→ Pearson 通常没问题——合成分近似定距。
单条目李克特项做相关 → Spearman 更稳妥。
遇到二分类 → 直接编码 0/1 跑 Pearson——结果就是点二列相关，和 t 检验等价。

四、用之前要满足什么条件

Pearson r 的核心假设

观测独立——同一个人不能在数据集里出现多次。同班同学这种数据建议先看 3.6。
线性关系——Pearson r 只检测直线关系。U 型、S 型、阈值型关系它会漏掉（见下一节 Anscombe 警示）。
两个变量近似双变量正态——大样本下不太致命，小样本（n < 30）需要正态性。
没有严重异常值——Pearson r 对异常值极其敏感，一两个极端点就能把 r 从 .60 拉到 .20。

Spearman / Kendall 的优势

只要求单调关系（一直增或一直减），不要求线性。
用秩次代替原值——异常值的影响大幅减弱。
对正态性几乎没要求。

三件事，做相关之前一定要做

画散点图——看关系是不是线性、有没有异常值、有没有亚组结构。
看每个变量的描述统计——是否被截断（floor/ceiling）。
n 是否够——Cohen 的功效分析建议：检测 r = .30 在 .80 功效下，需要 n ≈ 84。

不画散点图就报告 r 是这一节最严重的方法论错误。

五、一个完整例子

1. 研究背景

一个常被检验的关联：自尊（self-esteem）与生活满意度（life satisfaction）。文献中典型元分析结果显示 r ≈ .47（Diener et al., 1995）。

2. 假设虚拟数据

N = 200 大学生：

自尊（Rosenberg 量表 10 题均分，1-5）：M = 3.45, SD = 0.78
生活满意度（SWLS 5 题均分，1-7）：M = 4.50, SD = 1.20

3. 跑 Pearson 相关

得到：

r(198) = .51, 95% CI [.40, .60], p < .001, r² = .26

解读：

r = .51 是中到大的正相关。
r² = .26 → 自尊解释了生活满意度 26% 的变异。
95% CI 不过 0 → 在 .05 水平显著。
p < .001 → 这种 |r| ≥ .51 的结果在零相关下出现概率 < 0.1%。

4. 报告这个相关之前要做什么

第一件事——画散点图。在画图之前不要写报告。

下一节解释为什么。

六、Anscombe 警示：r 是不够的

1973 年 Frank Anscombe 构造了 4 组数据，每组的均值、SD、相关系数 r 都几乎完全相同（r ≈ .82）：

数据集 1：清晰的线性关系（r 是诚实的描述）
数据集 2：完美的二次曲线（r 漏掉了非线性）
数据集 3：一条直线 + 一个极端异常值（r 被异常值拉高）
数据集 4：所有 X 几乎都相同 + 一个极端点（r 完全是异常点造成的）

这四组数据如果只看 r 是看不出区别的——但散点图一眼就能看出它们是完全不同的故事。

唯一的实操结论

做相关分析的第一件事永远是画散点图。这点没有商量余地。

r 高 + 散点图不像直线 → 关系是非线性的，r 是误导。
r 中等 + 散点图分成两团 → 实际上是亚组效应，应该分组分析或加协变量。
r 低 + 散点图明显有曲线 → 关系存在，但不是线性。
r 高 + 一个极端点 → r 由这一个点驱动，去掉它后 r 可能 ≈ 0。

永远不要在没看过散点图的情况下报告相关系数。

类似的"看图先于看数"的工具：Datasaurus dozen（Matejka & Fitzmaurice, 2017）扩展了 Anscombe 的思路，构造了 13 组数据，描述统计完全相同，但散点图从恐龙到星型千差万别。

七、偏相关：多元回归的预演

偏相关（partial correlation）回答的问题：在控制掉第三变量 Z 的影响后，X 和 Y 之间还有没有相关？

公式：

r_{X Y \cdot Z} = \frac{r_{X Y} - r_{X Z} \cdot r_{Y Z}}{\sqrt{(1 - r_{X Z}^{2}) (1 - r_{Y Z}^{2})}}

一个例子

冰激凌销量与溺水事件的相关 r = .80。但加入"气温" Z 后做偏相关：

r_{冰激凌, 溺水 \cdot 气温} \approx 0

气温是共同原因——它同时驱动了冰激凌销量和溺水率。控制气温后，两者没有直接关系。

偏相关本质上是一元回归 + 多元回归

偏相关 r_XY·Z 数学上等价于："把 X 和 Y 都对 Z 做回归取残差，然后算两份残差的 Pearson 相关。"

也就是说——偏相关就是"把 Z 这部分的方差从 X 和 Y 里都剥掉"，然后看剩下的部分还相不相关。这正是多元回归"控制其他变量"的几何含义。学到 3.4.2 多元回归时这个直觉会派上大用场。

还有一种"半偏相关"

Semi-partial correlation（也叫 part correlation）：只把 Z 从 X 中剔除，不剔除 Y。它在多元回归里对应"该 IV 单独贡献的 R² 增量"。多元回归章节会展开。

八、相关 ≠ 因果：5 种典型错觉

这是科普书写烂了的话题，但在心理学论文中犯错的人仍然很多。值得专门列一节。

5 种把相关误读成因果的常见错误

方向反了：相关本身没有方向。"自尊与幸福感正相关"既可能是"自尊 → 幸福"，也可能是"幸福 → 自尊"。横断研究无法分辨。
共同原因（confounding）：X 和 Y 都被第三变量驱动。冰激凌-溺水的故事就是这种。
选择偏差（selection bias）：你的样本不是从总体随机抽的。"上大学 vs 不上大学"对收入的相关，混杂了"能上大学的家庭本来就有钱"。
逆向因果（reverse causation）：实际是 Y 影响 X。"压力与免疫力负相关"——可能是免疫差导致的躯体不适让人感觉压力大。
巧合或多重比较：随机相关，特别是高维数据中。Tyler Vigen 的网站（spurious correlations）收集了大量虚假高相关：尼古拉斯·凯奇电影数与游泳池溺亡数 r = .67。

横断研究里报告 r 时，永远要在论文 Discussion 里讨论上述至少 1-2 种替代解释。

九、SPSS 实现

1. 单组相关

菜单：Analyze → Correlate → Bivariate

把要相关的变量都拖入 Variables；勾选 Pearson；勾 Two-tailed；勾 Flag significant correlations。

语法：

text

CORRELATIONS
  /VARIABLES=self_esteem life_satisfaction stress
  /PRINT=TWOTAIL NOSIG FULL
  /MISSING=PAIRWISE.

/MISSING=PAIRWISE 让每对变量用各自的可用配对——比 LISTWISE（全部齐全才算）更不浪费数据。但代价是不同相关基于不同 N。

2. Spearman / Kendall

text

NONPAR CORR
  /VARIABLES=education income
  /PRINT=SPEARMAN TWOTAIL NOSIG.

Kendall 把 SPEARMAN 改成 KENDALL。

3. 偏相关

菜单：Analyze → Correlate → Partial

把要分析的两个变量放 Variables，控制变量放 Controlling for。

text

PARTIAL CORR
  /VARIABLES=ice_cream drowning BY temperature
  /SIGNIFICANCE=TWOTAIL.

4. 一键导出 APA 格式相关矩阵

SPSS 原生输出不是 APA 格式。两个解决方案：

把输出复制到 Excel 手动整理（社心方向 90% 的人这么做）
用 Python pingouin.rcorr() 或 R apaTables::apa.cor.table() 替代

十、Python 实现

1. 单组 Pearson 相关

scipy（基础）pandas（多变量矩阵）pingouin（推荐，APA 友好）

python

from scipy import stats

r, p = stats.pearsonr(df['self_esteem'], df['life_satisfaction'])
print(f"r = {r:.3f}, p = {p:.4f}")

# 注意：scipy 不直接给 95% CI

python

df[['self_esteem', 'life_satisfaction', 'stress']].corr()
# 默认 Pearson；可改 method='spearman' / 'kendall'

python

import pingouin as pg

# 单对相关，含 CI、BF
pg.corr(df['self_esteem'], df['life_satisfaction'])
# 输出含 r, CI95%, p-val, BF10, power

# 多变量带显著性标的相关矩阵
pg.rcorr(df[['self_esteem', 'life_satisfaction', 'stress']],
         method='pearson', upper='pval', decimals=2)

2. Spearman / Kendall

python

from scipy import stats
rho, p = stats.spearmanr(df['edu'], df['income'])
tau, p = stats.kendalltau(df['edu'], df['income'])

# 或 pingouin 一行
pg.corr(df['edu'], df['income'], method='spearman')

3. 偏相关

python

import pingouin as pg

# 控制气温后的偏相关
pg.partial_corr(data=df, x='ice_cream', y='drowning',
                covar='temperature', method='pearson')

4. 散点图（必须先画）

python

import seaborn as sns
import matplotlib.pyplot as plt

# 单对
sns.regplot(data=df, x='self_esteem', y='life_satisfaction',
            scatter_kws={'alpha': 0.5})

# 多变量配对图（含分布）
sns.pairplot(df[['self_esteem', 'life_satisfaction', 'stress']],
             diag_kind='kde')

# 相关矩阵热图
import numpy as np
corr_matrix = df.corr()
sns.heatmap(corr_matrix, annot=True, cmap='RdBu_r',
            vmin=-1, vmax=1, center=0)

seaborn 的 regplot

sns.regplot 自带回归线和置信区域阴影，是探索性分析时最快速的"看一眼"工具。如果想要分组的回归线，用 sns.lmplot(..., hue='group')。

十一、APA 格式的相关矩阵表

论文标配的 Table 1

社心方向几乎所有论文的 Table 1 都长这个样子：

变量	M	SD	1	2	3
1. 自尊	3.45	0.78	(.85)
2. 生活满意度	4.50	1.20	.51***	(.83)
3. 焦虑	2.10	0.92	-.42***	-.35***	(.79)

注：N = 200。对角线括号内为 Cronbach's α。*** p < .001。

写作要点

r 省略前导 0：.51，不是 0.51。
M 和 SD 不省略前导 0：3.45，不是 .45。
一般报双侧 p 值。
显著性用星号：* p < .05，** p < .01，*** p < .001。
对角线放 Cronbach's α——这是社心方向的强惯例（3.1 描述统计有详述）。

论文段落模板

各研究变量的均值、标准差及相关系数见表 1。结果显示，自尊与生活满意度呈显著正相关，r(198) = .51, p < .001，与焦虑呈显著负相关，r(198) = -.42, p < .001。生活满意度与焦虑呈显著负相关，r(198) = -.35, p < .001。所有量表的内部一致性信度（Cronbach's α）均在 .79 以上。

十二、常见误用与替代方案

1. 七个最常见的坑

这些错误每天在论文里发生

不画散点图就报 r——Anscombe 警示。
报相关却不报 N——r 的解读必须依赖样本量。
混淆 r 与 r²——r = .30 听起来还行，但 r² = .09 才是真实的"解释比例"。
截断范围（restriction of range）：只在小范围 X 内取样会压低 r。如只在重点大学测智商-成绩相关，r 会比从所有学校取样小很多。
生态谬误（ecological fallacy）：班级层面的相关 ≠ 个人层面的相关。
多重比较不校正：测了 20 个变量做相关矩阵，190 对里期望约 9.5 个 p < .05 是假阳性。要做 Bonferroni 或 FDR 校正。
横断报相关 + 因果语言：写"自尊导致幸福"——审稿人会立刻枪毙。

2. 替代方案速查

你的情况	替代方案
关系明显非线性	多项式回归 / GAM / Spearman
有异常值	Spearman / 稳健相关（如 Winsorized）
数据有亚组结构	分组求 r 或加交互项的回归
想"控制"第三变量	偏相关 / 多元回归
想检验中介	PROCESS / SEM（3.5）
同一对人多次测量	混合模型 / 重复测量相关
时间序列数据	自相关函数 / cross-correlation