3.4.1 一元回归

本节目标

读完本节后，你能把一个连续变量作为预测变量、另一个连续变量作为结果变量，写出一元线性回归方程；解释斜率、截距和 $R^{2}$ ；检查残差与影响点；并用 SPSS 或 Python 报告系数、置信区间和预测边界。

本节路线图

概述：从相关到回归
一元回归模型
最小二乘法
模型拟合与诊断
软件实现

概述

一元线性回归回答的是：在给定 $X$ 时， $Y$ 的条件均值如何变化、预测误差有多大？它把相关分析的对称描述改成了有方向的建模语言：

Y_{i} = β_{0} + β_{1} X_{i} + ε_{i}, E (Y_{i} ∣ X_{i}) = β_{0} + β_{1} X_{i} .

这里的 $β_{0}, β_{1}$ 是总体参数， $ε_{i}$ 是不可直接观测的误差项，并假定 $E (ε_{i} ∣ X_{i}) = 0$ 。样本拟合后得到 ${\hat{Y}}_{i} = b_{0} + b_{1} X_{i}$ ，其中 $b_{0}, b_{1}$ 是参数估计值。“预测”是模型意义上的条件均值，不自动等于时间上的先后，更不等于因果效应。横断面或观察性数据应使用“关联”“预测”而不是“导致”。如果结果是二分类、计数或重复测量数据，应改用广义线性模型或多层模型，而不是硬套本页的普通最小二乘模型。

一元回归模型

系数怎么读

截距 $b_{0}$ ：当 $X = 0$ 时模型给出的平均 $Y$ 。若 $X = 0$ 不在观测范围内，截距主要是数学定位，不宜做实质解释；可先中心化 $X$ 让截距代表平均 $X$ 时的预测值。
斜率 $b_{1}$ ： $X$ 增加一个测量单位时，模型预测的 $Y$ 平均改变多少。正负号给方向，单位给尺度。斜率的 95% CI 比单独的 $p$ 值更能表达不确定性。
残差 $e_{i}$ ：观测值与拟合值之差，即 $e_{i} = Y_{i} - {\hat{Y}}_{i}$ 。它是不可观测误差 $ε_{i}$ 的样本对应量，用于诊断，不能当作新的独立观测。

在含截距的一元模型中，标准化斜率 $β_{std}$ 等于 Pearson $r$ ， $R^{2} = r^{2}$ ；这是一种数学换算，不改变研究问题，也不意味着相关分析可以替代预测诊断。

普通最小二乘的直觉

普通最小二乘（OLS）选择 $b_{0}, b_{1}$ ，使残差平方和最小：

S S E = \sum_{i = 1}^{n} (Y_{i} - {\hat{Y}}_{i})^{2} .

平方会放大大误差，所以极端点可能强烈影响直线。在模型可识别且 $E (ε ∣ X) = 0$ 时，OLS 系数对给定设计矩阵是无偏的；同方差且误差互不相关时，常规 OLS 协方差公式才适用。误差条件正态性进一步使小样本的经典 $t / F$ 检验和 CI 成为精确推断。OLS 不是“自动发现真实因果线”的算法。

假设、边界与诊断

需要检查什么

线性均值结构： $E (Y ∣ X)$ 近似直线。先画散点图和残差-拟合值图；弯曲模式提示变换、二次项或非线性模型。
误差相关结构：经典标准误假定不同观测的误差互不相关。班级、家庭、被试内重复测量等数据不能按普通独立行推断，应按设计使用聚类稳健标准误、多层模型或 GEE。
同方差：给定 $X$ 后误差方差近似恒定。漏斗形残差会使经典 SE、CI 和 $p$ 值失真，可报告 HC3 稳健 SE 或重新建模；稳健 SE 不能修复非线性。
误差条件正态性（关系到小样本精确推断）：给定 $X$ 的误差正态性是经典 $t / F$ 检验和 CI 在有限样本中精确成立的条件；大样本推断可在更弱的正则条件下依靠渐近近似。它不要求 $X$ 或 $Y$ 的边际分布正态。实际用残差 Q-Q 图结合样本量和异常点诊断，不把 Shapiro-Wilk 的单个 $p$ 值当作通行证。
无强影响点：查看 leverage、Cook 距离和 DFBETAs。发现点后先核对录入和测量，再做“含/不含该点”的敏感性分析并报告规则；不要为了显著而删除。

报告哪些量

至少报告 $b_{0}, b_{1}$ 、各自 SE 或 95% CI、 $t (d f)$ 、 $p$ 、 $R^{2}$ （可加 adjusted $R^{2}$ ）、样本量和诊断处理。若目标是个体预测，还要给新观测的预测区间；均值响应的 CI 会比个体预测区间窄，二者不要混写。 $R^{2}$ 是样本内拟合比例，不是因果效应，也不保证样本外预测表现。

常见误用

“斜率显著”只说明在模型和抽样假设下斜率与 0 不相容；它不证明 $X$ 导致 $Y$ 。不要把 $R^{2}$ 解释为“机制被解释了多少”，也不要在看到相关系数后跳过散点图和残差诊断。

教学示例：同一份模拟数据

下面的 8 行是教学模拟数据，不是研究结果： $X = 1, \dots, 8$ ， $Y = (2.1, 2.9, 4.2, 5.1, 5.8, 7.2, 7.9, 9.1)$ 。用同一数据可核对 SPSS 与 Python 的模型。

PythonSPSS syntax

python

import numpy as np
import statsmodels.api as sm

x = np.arange(1, 9, dtype=float)
y = np.array([2.1, 2.9, 4.2, 5.1, 5.8, 7.2, 7.9, 9.1])
fit = sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit()

print(fit.params.round(3))
print(fit.bse.round(3))
print(fit.tvalues.round(2), fit.df_resid)
print(fit.conf_int().round(3))
print(fit.rsquared.round(3), fit.rsquared_adj.round(3))

text

DATA LIST LIST / x y.
BEGIN DATA
1 2.1
2 2.9
3 4.2
4 5.1
5 5.8
6 7.2
7 7.9
8 9.1
END DATA.
REGRESSION
  /DEPENDENT y
  /METHOD=ENTER x
  /STATISTICS=COEFF OUTS R ANOVA CI(95).

按 OLS 计算（截距、斜率、SE、 $t$ 、95% CI； $d f = 6$ ）的结果为：

项目	估计	SE	$t$	95% CI
截距	1.054	0.127	8.33	[0.744, 1.363]
$X$ 斜率	0.996	0.025	39.77	[0.935, 1.058]

模型 $R^{2} = 0.996$ ，adjusted $R^{2} = 0.996$ ， $F (1, 6) = 1581.42$ ， $p < .001$ ，残差均方 $= 0.0264$ ，RMSE $= 0.162$ 。这些数值只描述这份模拟数据；不要把它们当作心理学效应大小。

从模型到论文

可按研究目的改写为：

一元线性回归显示， $X$ 与 $Y$ 呈正向关联， $b = 0.996$ ， $S E = 0.025$ ， $t (6) = 39.77$ ， $p < .001$ ，95% CI [0.935, 1.058]， $R^{2} = .996$ 。该分析为观察性关联，不能单独支持因果解释。

如果 $X$ 来自随机操纵且设计、顺序和缺失处理支持因果识别，仍应把回归结果放回完整实验设计中解释，而不是仅凭显著性宣称因果。

资源与工具

🐍

statsmodels OLS

Python 普通最小二乘 API（statsmodels 0.14.6，核查于 2026-08-12）

3.2 差异分析

3.4 回归分析

3.4.1 一元回归

本节路线图

概述

一元回归模型

系数怎么读

普通最小二乘的直觉

假设、边界与诊断

需要检查什么

报告哪些量

教学示例：同一份模拟数据

从模型到论文

资源与工具

延伸阅读

3.4.1 一元回归 ​

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系数怎么读 ​

普通最小二乘的直觉 ​

假设、边界与诊断 ​

需要检查什么 ​

报告哪些量 ​

教学示例：同一份模拟数据 ​

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概述

一元回归模型

系数怎么读

普通最小二乘的直觉

假设、边界与诊断

需要检查什么

报告哪些量

教学示例：同一份模拟数据

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